Исбот кунед, ки адади \(5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n}\), ҳангоми n - натуралӣ будан,

ба 11 бе бақия тақсим мешавад

\[5^{5n+1}+4^{5n+2}+3^{5n} = 5^{5n}\cdot5^{1}+4^{5n}\cdot4^{2}+3^{5n}=\]

\[=(5^5)^n\cdot5+(4^5)^n\cdot16+(3^5)^n=\]

\[=5\cdot(3125)^n+16\cdot(1024)^n+(243)^n=\]

\[=5\cdot(11\cdot284+1)^n+16\cdot(11\cdot93+1)^n+(11\cdot22+1)^n\]

\[(x+1)^n = A\cdot{x}+1\Rightarrow (11\cdot x + 1)^n = 11\cdot{A}\cdot{x}+1 =\]

\[=11\cdot B + 1\]

\[5\cdot(11\cdot284+1)^n+16\cdot(11\cdot93+1)^n+(11\cdot22+1)^n=\]

\[=5\cdot(11\cdot A+1)+16\cdot(11\cdot B + 1) + (11\cdot C + 1)=\]

\[=11\cdot(5A + 16B + C)+5+16+1 = 11D+22 = 11E\]

Ададҳои A, B, C, D, E - адаҳои бутун. Аз ин ҷо мебарояд,

ки адади 11E ба 11 бе бақия тақсим мешавад.

Исбот шуд.